考研数学-高中数学回顾函数的微分

考研数学复习中，高中数学的“函数的导数”（即一元函数微分学基础） 是高等数学（高数）一元函数微分学的起点和必备回顾内容。考研数学（尤其是数一、数二、数三）对这个部分的考查非常基础但细节密集：定义、基本公式、求导法则 几乎每年必考，常结合分段函数、绝对值、参数方程、隐函数等变形出现。

下面从高中视角快速回顾核心知识点，结合考研常考点和易错陷阱，一次性帮你过一遍（建议边看边默写公式）。

一、核心概念（必须死记 + 理解）

1. 导数的定义（考研最爱用定义考分段点可导性）

• 函数 f(x) 在 x₀ 处的导数：
  [
  f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x}
  ]
• 左右导数存在且相等 ⇔ 可导
• 可导 ⇒ 连续（但连续不一定可导，例如 f(x) = |x| 在 x=0 连续但不可导）

1. 导数的几何意义：切线斜率

• 切线方程：y – y₀ = f'(x₀)(x – x₀)

1. 微分的定义（考研常考微分形式不变性）

• dy = f'(x) dx （线性主部）
• 微分与增量关系：Δy = dy + o(Δx) （当 Δx → 0）

1. 可导、可微、连续关系（必背）

• 可微 ⇔ 可导（一元函数中）
• 可导 ⇔ 连续
• 连续 ⇏ 可导（反例：|x|）

二、基本求导公式（高中+考研必背，默写10遍以上）

函数类型	函数	导数公式	备注（考研常考变形）
常数	C	0	—
幂函数	x^n (n 为实数)	n x^{n-1}	分数指数、负指数常见
指数函数	a^x	a^x \ln a	e^x ‘ = e^x
对数函数	\log_a x	1/(x \ln a)	\ln x ‘ = 1/x
正弦	\sin x	\cos x	—
余弦	\cos x	-\sin x	—
正切	\tan x	\sec^2 x	1 + \tan^2 x = \sec^2 x
余切	\cot x	-\csc^2 x	—
正割	\sec x	\sec x \tan x	—
余割	\csc x	-\csc x \cot x	—
反三角（arcsin）	\arcsin x	1 / \sqrt{1 – x^2}	域：[-1,1]
\arccos x	-1 / \sqrt{1 – x^2}	同上
\arctan x	1 / (1 + x^2)	—
\arccot x	-1 / (1 + x^2)	—

考研提醒：这些公式是所有求导题的“砖块”，必须滚瓜烂熟。幂指函数如 x^x、e^{x \sin x} 等靠复合+对数求导。

三、求导基本法则（高中四则 + 复合 + 其他）

1. 四则运算（线性）

• (u ± v)’ = u’ ± v’
• (u v)’ = u’ v + u v’
• (u / v)’ = (u’ v – u v’) / v^2 （v ≠ 0）

1. 复合函数求导（链式法则） —— 考研计算量最大、最易错

• y = f(g(x)) ⇒ y’ = f'(u) · u’ （u = g(x)）
• 多层复合：从外到里一层一层乘 例：y = \sin(e^{x^2})
  y’ = \cos(e^{x^2}) · e^{x^2} · 2x

1. 反函数求导（高中不常考，考研隐函数常变形）

• 若 y = f(x)，x = f^{-1}(y)，则 dx/dy = 1 / (dy/dx)

1. 对数求导法（考研神器，处理幂指、乘除复杂式）

• 两边取 ln → 两边求导 → 解 y’/y 例：y = x^{\sin x}
  \ln y = \sin x \ln x
  y’/y = \cos x \ln x + \sin x · (1/x)
  y’ = y (\cos x \ln x + \sin x / x)

四、考研常考变形回顾（高中基础 + 高考/考研延伸）

1. 分段函数在分界点的可导性：用定义求左右导数
   例：f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 0 \ x & x > 0 \end{cases} 在 x=0 处可导吗？（答：左导=0，右导=1，不相等，不可导）
2. 带绝对值函数：去掉绝对值后分段求导，再检查分界点
3. 参数方程求导（高中选修，考研必考）
   \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} （dx/dt ≠ 0）
4. 隐函数求导（F(x,y)=0）
   两边对 x 求导，注意 y’ 项：F_x + F_y y’ = 0 ⇒ y’ = -F_x / F_y

五、快速自测口诀 & 建议

• 口诀：基本公式死记 → 四则直接套 → 复合从外往里乘 → 复杂先对数 → 定义保底（分段/抽象）
• 考研易丢分点：左右导数不相等、复合层数漏乘、微分形式写错、忽略域
• 复习建议：先默写所有基本导数公式（10分钟内写完） → 做10道高中复合求导题 → 再刷考研真题中“按定义求导”“分段可导性”“对数求导”题型

高中函数导数部分在考研高数里占比虽不高，但它是后面中值定理、极值、渐近线、凹凸性等所有应用的基石。基础不牢，地动山摇。

你现在是刚开始回顾高中部分，还是已经过了一遍想针对某个题型（如分段/隐函数/高阶）深入？
或者想看具体例题解析？告诉我，我继续给你定制！