下面给你一套从基础到进阶的完整方案：用 Java 实现 素数判断 + 素数统计，并逐步优化性能 👇
一、什么是素数？
👉 素数（Prime）：只能被 1 和自身整除的数（且 ≥ 2）
例如：
- ✅ 2, 3, 5, 7, 11
- ❌ 4, 6, 8, 9
二、基础版：判断一个数是否为素数
✅ 方法1：暴力法（入门）
public static boolean isPrime(int n) {
if (n < 2) return false;
for (int i = 2; i < n; i++) {
if (n % i == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
👉 问题：效率低（O(n)）
✅ 方法2：优化到 √n（推荐）
👉 原理：
如果 n 有因子，一定成对出现，例如：
36 = 6 × 6
所以只需判断到 √n
public static boolean isPrime(int n) {
if (n < 2) return false;
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
if (n % i == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
👉 时间复杂度：O(√n)（非常常用）
三、统计区间内的素数
✅ 方法1：逐个判断（简单）
public static int countPrimes(int n) {
int count = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (isPrime(i)) {
count++;
}
}
return count;
}
👉 复杂度：O(n√n)
四、高效方法：埃拉托斯特尼筛法（重点🔥）
👉 用于：统计 1 ~ n 所有素数（高性能）
核心思想：
- 先假设全部是素数
- 从 2 开始，把倍数全部标记为“非素数”
✅ Java 实现
public static int countPrimes(int n) {
if (n < 2) return 0;
boolean[] isPrime = new boolean[n + 1];
// 初始化：全部设为 true
for (int i = 2; i <= n; i++) {
isPrime[i] = true;
}
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
if (isPrime[i]) {
for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
isPrime[j] = false;
}
}
}
int count = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (isPrime[i]) count++;
}
return count;
}
🚀 优化点（关键理解）
为什么从 i * i 开始？
👉 因为：
i × (i-1) 之前已经被处理过
⏱ 时间复杂度
👉 O(n log log n)（非常快）
五、打印所有素数
public static void printPrimes(int n) {
boolean[] isPrime = new boolean[n + 1];
for (int i = 2; i <= n; i++) {
isPrime[i] = true;
}
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
if (isPrime[i]) {
for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
isPrime[j] = false;
}
}
}
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (isPrime[i]) {
System.out.print(i + " ");
}
}
}
六、完整测试代码（推荐直接运行）
public class PrimeDemo {
public static boolean isPrime(int n) {
if (n < 2) return false;
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
if (n % i == 0) return false;
}
return true;
}
public static int countPrimes(int n) {
boolean[] isPrime = new boolean[n + 1];
for (int i = 2; i <= n; i++) isPrime[i] = true;
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
if (isPrime[i]) {
for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
isPrime[j] = false;
}
}
}
int count = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (isPrime[i]) count++;
}
return count;
}
public static void main(String[] args) {
int n = 100;
System.out.println("100以内素数个数：" + countPrimes(n));
System.out.print("素数列表：");
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (isPrime(i)) {
System.out.print(i + " ");
}
}
}
}
七、三种方法对比
| 方法 | 用途 | 时间复杂度 | 推荐 |
|---|---|---|---|
| 暴力法 | 单个判断 | O(n) | ⭐ |
| √n优化 | 单个判断 | O(√n) | ⭐⭐⭐⭐ |
| 筛法 | 区间统计 | O(n log log n) | ⭐⭐⭐⭐⭐ |
八、进阶优化（精通必备）
⭐ 1. 只判断奇数
减少一半计算
⭐ 2. 线性筛（欧拉筛）
👉 更高级：O(n)
⭐ 3. 大数素性判断
👉 用于密码学（如 RSA）
总结一句话
👉 素数问题核心：
“判断用 √n，统计用筛法”
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