你提到的 Minus-1 技巧（或称 **“-1技巧”）常用于快速求解 齐次线性方程组，尤其是在考试或笔试中出现的 n 元 n 阶齐次方程组行列式问题。我来系统讲解一下。
Minus-1 技巧求解齐次线性方程组
一、问题背景
考虑齐次线性方程组：
[
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0 \
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = 0 \
\vdots \
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = 0
\end{cases}
]
记为矩阵形式：
[
A \mathbf{x} = \mathbf{0}
]
- 若 (\det(A) \neq 0) → 只有零解
- 若 (\det(A) = 0) → 有非零解，求法可以用 Minus-1 技巧 快速计算。
二、Minus-1 技巧核心思路
适用条件：
- 齐次方程组系数矩阵是 n 阶特殊矩阵，如每行元素 相差 1 或有规律排列
- 通常考题给的是：
[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & \dots & 1 \
a_1 & a_2 & a_3 & \dots & a_n \
a_1^2 & a_2^2 & \dots & a_n^2 \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \dots & a_n^{n-1}
\end{bmatrix} \mathbf{x} = 0
]
这是 范德蒙德型矩阵，Minus-1 技巧正是处理这类矩阵的捷径。
三、技巧步骤
1️⃣ 行列式“Minus-1”变形
- 对于每行元素递增 1 的矩阵，可通过 逐行减前一行 转化为 上三角形式
- 比如：
[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \
1 & 2 & 3 \
1 & 3 & 5
\end{bmatrix}
]
- 第2行减第1行 →
[0, 1, 2] - 第3行减第2行 →
[0, 1, 2] - 然后继续化为上三角形式
- 这时行列式可以快速展开，判断是否为零 → 判断是否有非零解
2️⃣ 规律总结
- 矩阵每行元素相差常数 → 减法可消元
- 化简后判断行列式 → 若为零 → 说明有非零解
- 非零解的比值可直接通过消元后最后一行求出
四、实例
求解齐次方程组：
[
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 0 \
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \
x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0
\end{cases}
]
步骤：
- 写矩阵形式：
[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \
1 & 2 & 3 \
1 & 3 & 5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = 0
]
- 用 Minus-1 技巧（行减前一行）：
- 第2行 – 第1行 →
[0, 1, 2] - 第3行 – 第2行 →
[0, 1, 2]
得到矩阵：
[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \
0 & 1 & 2 \
0 & 1 & 2
\end{bmatrix}
]
- 行列式 → 零（有非零解）
- 消元求解比值：
[
x_2 + 2x_3 = 0 \Rightarrow x_2 = -2x_3
]
[
x_1 + x_2 + x_3 = 0 \Rightarrow x_1 – 2x_3 + x_3 = 0 \Rightarrow x_1 = x_3
]
解： (\mathbf{x} = [1, -2, 1]^T k)，其中 (k \in \mathbb{R})
五、总结
- Minus-1 技巧核心：用“每行减前一行”消去相同部分 → 上三角化
- 适合矩阵：行元素有规律（等差 / 范德蒙德型）
- 优点：无需计算复杂行列式，快速判断是否有非零解
- 关键点：消元后直接求比值，得到非零解
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