NumPy 算术函数

在 NumPy 中，算术函数（Arithmetic Functions）是一组用于对 ndarray（N 维数组）执行基本算术运算的通用函数（ufunc），包括加、减、乘、除、幂、取模等操作。这些函数支持向量化操作和广播机制，能够高效处理数组元素，广泛应用于数据处理、科学计算和机器学习。以下是对 NumPy 算术函数的详细中文讲解，涵盖定义、常用函数、示例、注意事项及最佳实践，帮助你全面掌握 NumPy 算术函数的使用。

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一、NumPy 算术函数概述

1. 什么是算术函数？

• 定义：NumPy 算术函数是对数组元素执行基本算术运算（如加、减、乘、除）的通用函数，支持标量、数组和多维数组操作。
• 特点：
• 向量化：逐元素运算，无需显式循环。
• 广播：自动扩展形状不完全相同的数组。
• 高效性：基于 C 实现，性能优于 Python 原生运算。
• 类型安全：自动处理数据类型转换。
• 用途：
• 数据处理：数组元素的基本运算。
• 特征缩放：如归一化、标准化。
• 数学建模：矩阵运算、向量计算。

2. 算术函数 vs Python 内置运算

特性	NumPy 算术函数	Python 内置运算
输入类型	数组、标量	标量或列表（需循环）
向量化	支持数组操作	需手动循环
广播	支持形状扩展	不支持
性能	高效（C 实现）	较慢（Python 实现）

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二、常用 NumPy 算术函数

NumPy 提供了以下主要算术函数，均支持数组和标量操作，并遵循广播规则。以下按功能分类介绍。

1. 基本算术运算

这些函数对应常见的数学运算符，支持逐元素操作。

函数	运算符	描述	示例（标量）
np.add(x1, x2)	+	加法	2 + 3 = 5
np.subtract(x1, x2)	-	减法	5 - 2 = 3
np.multiply(x1, x2)	*	乘法	2 * 3 = 6
np.divide(x1, x2)	/	除法	6 / 2 = 3.0
np.floor_divide(x1, x2)	//	整除	7 // 2 = 3
np.mod(x1, x2)	%	取模	7 % 3 = 1
np.power(x1, x2)	**	幂运算	2 ** 3 = 8

• 语法：

  np.<function>(x1, x2, out=None, dtype=None)

• x1, x2：输入数组或标量。
• out：可选输出数组，存储结果。
• dtype：指定输出数据类型。
• 示例：

  import numpy as np

  arr1 = np.array([1, 2, 3])
  arr2 = np.array([4, 5, 6])
  print(np.add(arr1, arr2))         # 输出：[5 7 9]
  print(np.subtract(arr2, arr1))    # 输出：[3 3 3]
  print(np.multiply(arr1, 2))       # 输出：[2 4 6]
  print(np.divide(arr2, 2))         # 输出：[2. 2.5 3.]
  print(np.floor_divide(arr2, 2))   # 输出：[2 2 3]
  print(np.mod(arr2, 3))            # 输出：[1 2 0]
  print(np.power(arr1, 2))          # 输出：[1 4 9]

• 使用运算符（更简洁）：

  print(arr1 + arr2)  # 等同于 np.add
  print(arr1 * 2)     # 等同于 np.multiply

2. 绝对值与符号

• 函数：
• np.abs(x) 或 np.absolute(x)：绝对值。
• np.sign(x)：返回元素符号（1、0、-1）。
• 示例：

  arr = np.array([-2, 0, 3])
  print(np.abs(arr))   # 输出：[2 0 3]
  print(np.sign(arr))  # 输出：[-1 0 1]

3. 倒数运算

• 函数：
• np.reciprocal(x)：计算倒数（1/x），对整数返回整数倒数。
• 示例：

  arr = np.array([1, 2, 4], dtype=np.float64)
  print(np.reciprocal(arr))  # 输出：[1. 0.5 0.25]

4. 累积运算

• 函数：
• np.cumsum(arr, axis=None)：累积和。
• np.cumprod(arr, axis=None)：累积积。
• 示例：

  arr = np.array([1, 2, 3])
  print(np.cumsum(arr))   # 输出：[1 3 6]
  print(np.cumprod(arr))  # 输出：[1 2 6]

• 多维示例：

  arr = np.array([[1, 2], [3, 4]])
  print(np.cumsum(arr, axis=0))  # 按列累积
  # 输出：
  # [[1 2]
  #  [4 6]]

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三、广播机制

算术函数支持 NumPy 的广播机制，允许不同形状的数组运算。

• 示例（标量与数组）：

  arr = np.array([[1, 2], [3, 4]])
  print(arr + 5)  # 标量广播
  # 输出：
  # [[6 7]
  #  [8 9]]

• 示例（数组与向量）：

  arr = np.array([[1, 2], [3, 4]])  # 形状 (2, 2)
  vec = np.array([10, 20])           # 形状 (2,)
  print(arr + vec)                   # vec 广播为 (2, 2)
  # 输出：
  # [[11 22]
  #  [13 24]]

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四、实际应用场景

1. 数据缩放

将数组缩放到特定范围：

arr = np.array([1, 2, 3, 4])
min_val, max_val = np.min(arr), np.max(arr)
scaled = (arr - min_val) / (max_val - min_val)
print(scaled)  # 输出：[0. 0.33 0.67 1.]

2. 批量运算

对矩阵元素批量加减：

matrix = np.array([[1, 2], [3, 4]])
result = np.add(matrix, 10)
print(result)  # 输出：[[11 12] [13 14]]

3. 累积统计

计算时间序列的累积和：

data = np.array([1, 2, 3, 4])
cumulative = np.cumsum(data)
print(cumulative)  # 输出：[1 3 6 10]

4. 整数处理

处理整数数组的整除和取模：

arr = np.array([10, 15, 20])
print(np.floor_divide(arr, 3))  # 输出：[3 5 6]
print(np.mod(arr, 3))           # 输出：[1 0 2]

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五、注意事项

1. 数据类型转换：

• 除法（np.divide）将整数转换为浮点数：
  python arr = np.array([1, 2], dtype=np.int32) print(np.divide(arr, 2).dtype) # 输出：float64

1. 除零错误：

• 除法或取模可能产生无效值：
  python arr = np.array([1, 0]) print(np.divide(1, arr)) # 输出：[1. inf]

1. 广播兼容性：

• 确保数组形状满足广播规则：
  python arr1 = np.array([[1, 2], [3, 4]]) # 形状 (2, 2) arr2 = np.array([1, 2, 3]) # 形状 (3,) # arr1 + arr2 # 报错：形状不兼容

1. 性能优化：

• 向量化运算比循环快：
  python arr = np.array([1, 2, 3]) print(np.multiply(arr, 2)) # 高效

1. 输出数组：

• 使用 out 参数避免创建新数组：
  python result = np.empty_like(arr) np.add(arr, 2, out=result)

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六、最佳实践

1. 优先向量化：

• 使用算术函数或运算符，避免循环：
  python arr = np.array([1, 2, 3]) print(arr * 2) # 高效

1. 显式数据类型：

• 指定 dtype 控制输出类型：
  python arr = np.array([1, 2], dtype=np.float32) print(np.divide(arr, 2, dtype=np.float32))

1. 处理无效值：

• 检查 inf 或 nan：
  python result = np.divide(1, np.array([0, 1])) print(np.isinf(result)) # 输出：[ True False]

1. 优化内存：

• 使用 out 参数复用数组：
  python result = np.zeros_like(arr) np.multiply(arr, 2, out=result)

1. 结合其他库：

• 与 Pandas 集成：
  python import pandas as pd df = pd.DataFrame(arr) df += 2 # 类似 NumPy 广播

1. 调试形状：

• 检查数组形状：
  python print(arr1.shape, arr2.shape)

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七、总结

NumPy 的算术函数（如 add、subtract、multiply、divide、power）提供了高效的向量化运算，支持加、减、乘、除、幂等操作，结合广播机制可处理不同形状的数组。掌握这些函数，理解数据类型转换和广播规则，遵循最佳实践（如向量化、处理无效值、优化内存），能显著提升数据处理效率。注意除零、形状兼容性和性能优化，确保代码的正确性和高效性。

如果你需要更复杂的算术运算示例（如多维矩阵运算、性能优化）或特定场景的代码，请告诉我！