NumPy 数学函数

在 NumPy 中，数学函数（Mathematical Functions）是一组用于对 ndarray（N 维数组）执行数学运算的工具函数，称为通用函数（ufunc）。这些函数支持向量化操作，能够高效处理数组元素，涵盖算术、统计、三角、指数、对数等运算，广泛应用于科学计算、数据分析和机器学习。以下是对 NumPy 数学函数的详细中文讲解，涵盖定义、主要函数、示例、注意事项及最佳实践，帮助你全面掌握 NumPy 数学函数的使用。

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一、NumPy 数学函数概述

1. 什么是数学函数？

• 定义：NumPy 数学函数是 np 模块中的通用函数（ufunc），对数组元素逐个执行数学运算，支持广播和向量化。
• 特点：
• 向量化：无需显式循环，自动应用于数组每个元素。
• 高效性：基于 C 实现，性能优于 Python 原生运算。
• 多维支持：适用于任意维度的数组。
• 广播：自动扩展形状不完全相同的数组。
• 用途：
• 数据处理：计算数组的统计量（如均值、标准差）。
• 数学建模：三角函数、指数、对数等。
• 数据预处理：归一化、特征缩放等。

2. 数学函数 vs Python 内置数学模块

特性	NumPy 数学函数	Python math 模块
输入类型	数组（标量、向量、矩阵）	标量
向量化	支持数组操作	需循环处理数组
性能	高效（C 实现）	较慢（Python 实现）
广播	支持形状扩展	不支持

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二、常用 NumPy 数学函数

NumPy 提供了丰富的数学函数，以下按类别介绍常用函数及其用法。

1. 算术运算

• 函数：
• np.add(x1, x2)：加法（等同于 x1 + x2）。
• np.subtract(x1, x2)：减法（x1 - x2）。
• np.multiply(x1, x2)：乘法（x1 * x2）。
• np.divide(x1, x2)：除法（x1 / x2）。
• np.power(x1, x2)：幂运算（x1 ** x2）。
• np.mod(x1, x2)：取模（x1 % x2）。
• 示例：

  import numpy as np

  arr1 = np.array([1, 2, 3])
  arr2 = np.array([4, 5, 6])
  print(np.add(arr1, arr2))      # 输出：[5 7 9]
  print(np.multiply(arr1, 2))    # 输出：[2 4 6]
  print(np.power(arr1, 2))       # 输出：[1 4 9]
  print(np.mod(arr2, 3))         # 输出：[1 2 0]

2. 统计函数

• 函数：
• np.mean(arr, axis=None)：计算均值。
• np.std(arr, axis=None)：计算标准差。
• np.var(arr, axis=None)：计算方差。
• np.sum(arr, axis=None)：求和。
• np.max(arr, axis=None)：最大值。
• np.min(arr, axis=None)：最小值。
• np.median(arr, axis=None)：中位数。
• 示例：

  arr = np.array([[1, 2], [3, 4]])
  print(np.mean(arr))           # 输出：2.5
  print(np.std(arr, axis=0))    # 输出：[1. 1.]（按列标准差）
  print(np.sum(arr, axis=1))    # 输出：[3 7]（按行求和）
  print(np.max(arr))            # 输出：4

3. 三角函数

• 函数：
• np.sin(arr)：正弦。
• np.cos(arr)：余弦。
• np.tan(arr)：正切。
• np.arcsin(arr)：反正弦。
• np.deg2rad(arr)：角度转弧度。
• np.rad2deg(arr)：弧度转角度。
• 示例：

  arr = np.array([0, np.pi/2, np.pi])
  print(np.sin(arr))  # 输出：[0. 1. 0.]
  print(np.deg2rad([0, 90, 180]))  # 输出：[0. 1.57 3.14]

4. 指数与对数

• 函数：
• np.exp(arr)：自然指数（e^x）。
• np.log(arr)：自然对数（ln(x)）。
• np.log10(arr)：以 10 为底的对数。
• np.sqrt(arr)：平方根。
• 示例：

  arr = np.array([1, 2, 3])
  print(np.exp(arr))    # 输出：[2.72 7.39 20.09]
  print(np.log(arr))    # 输出：[0. 0.69 1.1]
  print(np.sqrt(arr))   # 输出：[1. 1.41 1.73]

5. 舍入与绝对值

• 函数：
• np.round(arr, decimals=0)：四舍五入。
• np.floor(arr)：向下取整。
• np.ceil(arr)：向上取整。
• np.abs(arr)：绝对值。
• 示例：

  arr = np.array([1.7, 2.3, -3.5])
  print(np.round(arr))     # 输出：[2. 2. -4.]
  print(np.floor(arr))     # 输出：[1. 2. -4.]
  print(np.abs(arr))       # 输出：[1.7 2.3 3.5]

6. 其他数学函数

• 函数：
• np.sign(arr)：返回元素符号（1、0、-1）。
• np.reciprocal(arr)：倒数（1/x）。
• np.clip(arr, a_min, a_max)：限制元素在指定范围内。
• 示例：

  arr = np.array([-2, 0, 3])
  print(np.sign(arr))      # 输出：[-1 0 1]
  print(np.clip(arr, 0, 2))  # 输出：[0 0 2]

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三、实际应用场景

1. 数据标准化

将数组归一化到零均值和单位方差：

arr = np.array([[1, 2], [3, 4]])
mean = np.mean(arr, axis=0)
std = np.std(arr, axis=0)
normalized = (arr - mean) / std
print(normalized)
# 输出：
# [[-1. -1.]
#  [ 1.  1.]]

2. 三角函数绘图

生成正弦波数据：

x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
y = np.sin(x)
# 可用于 Matplotlib 绘图

3. 特征缩放

将数据缩放到 [0, 1]：

arr = np.array([1, 2, 3, 4])
min_val, max_val = np.min(arr), np.max(arr)
scaled = (arr - min_val) / (max_val - min_val)
print(scaled)  # 输出：[0. 0.33 0.67 1.]

4. 指数增长

模拟指数增长：

t = np.arange(0, 5, 0.5)
growth = np.exp(t)
print(growth)
# 输出：[1. 1.65 2.72 ... 148.41]

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四、注意事项

1. 数据类型：

• 运算可能改变 dtype（如整数除法生成浮点数）：
  python arr = np.array([1, 2], dtype=np.int32) print((arr / 2).dtype) # 输出：float64

1. 数值范围：

• 注意溢出或无效值（如 np.log(0) 返回 -inf）：
  python arr = np.array([0, 1]) print(np.log(arr)) # 输出：[-inf 0.]

1. 广播兼容性：

• 确保数组形状满足广播规则：
  python arr1 = np.array([[1, 2], [3, 4]]) arr2 = np.array([1, 2]) print(np.add(arr1, arr2)) # 广播合法

1. 性能优化：

• 向量化操作比循环快，优先使用：
  python arr = np.array([1, 2, 3]) print(np.sin(arr)) # 高效

1. 轴（axis）指定：

• 统计函数需明确轴：
  python arr = np.array([[1, 2], [3, 4]]) print(np.mean(arr, axis=1)) # 按行均值：[1.5 3.5]

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五、最佳实践

1. 向量化优先：

• 使用 NumPy 函数避免循环：
  python arr = np.array([1, 2, 3]) print(np.power(arr, 2)) # 输出：[1 4 9]

1. 检查数据类型：

• 显式指定 dtype 避免意外转换：
  python arr = np.array([1, 2], dtype=np.float32)

1. 处理无效值：

• 使用 np.isnan 或 np.isfinite 检查结果：
  python arr = np.array([0, 1]) result = np.log(arr) print(np.isinf(result)) # 输出：[ True False]

1. 优化性能：

• 大数组使用低精度类型（如 float32）：
  python arr = np.array([1, 2, 3], dtype=np.float32)

1. 结合其他库：

• 与 Pandas、Matplotlib 集成：
  python import pandas as pd df = pd.DataFrame(arr) print(np.mean(df, axis=0))

1. 调试输出：

• 使用 np.set_printoptions 控制精度：
  python np.set_printoptions(precision=2)

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六、总结

NumPy 的数学函数（ufunc）提供了高效的向量化运算，涵盖算术（add、multiply）、统计（mean、std）、三角（sin、cos）、指数对数（exp、log）等操作。掌握这些函数，理解广播和数据类型，结合最佳实践（如向量化、检查无效值、优化性能），能高效处理数组数据。注意数值范围、轴指定和性能优化，确保代码的正确性和效率。

如果你需要更复杂的数学函数示例（如多维运算、性能优化）或特定场景的代码，请告诉我！