NumPy 线性代数
NumPy 提供了强大的线性代数功能，主要通过其子模块 numpy.linalg 实现。这些功能支持矩阵运算、向量运算、特征值分解、线性方程组求解等线性代数操作，广泛应用于科学计算、机器学习和工程领域。以下是对 NumPy 线性代数功能的详细中文讲解，涵盖核心功能、常见操作和示例。
1. 概述
numpy.linalg 模块提供了丰富的线性代数工具，用于处理矩阵和向量的运算。以下是主要功能的分类：
- 矩阵运算：矩阵乘法、转置、逆矩阵、行列式等。
- 线性方程组求解：求解
Ax = b形式的方程。 - 特征值与特征向量：计算矩阵的特征值和特征向量。
- 矩阵分解：如 SVD（奇异值分解）、QR 分解等。
- 范数与距离：计算矩阵或向量的范数。
要使用线性代数功能，需先导入 NumPy 和 linalg 模块：
import numpy as np
import numpy.linalg as la2. 基本矩阵运算
以下是常见的矩阵操作及其实现方法。
2.1 矩阵乘法
矩阵乘法可以通过 np.dot() 或 @ 运算符实现（numpy.matrix 类的 * 也支持矩阵乘法，但建议使用 ndarray）。
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
# 使用 @ 运算符
result = A @ B
print(result)
# 输出:
# [[19 22]
# [43 50]]
# 使用 np.dot
result_dot = np.dot(A, B)
print(result_dot)
# 输出同上2.2 矩阵转置
使用 np.transpose() 或 .T 属性计算矩阵转置。
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
print(A.T)
# 输出:
# [[1 3]
# [2 4]]2.3 矩阵的逆
使用 la.inv() 计算方阵的逆（矩阵必须是非奇异的，即行列式不为 0）。
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
A_inv = la.inv(A)
print(A_inv)
# 输出:
# [[-2. 1. ]
# [ 1.5 -0.5]]
# 验证：A @ A_inv 应为单位矩阵
print(A @ A_inv)
# 输出:
# [[1. 0.]
# [0. 1.]]2.4 矩阵的行列式
使用 la.det() 计算矩阵的行列式。
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
det = la.det(A)
print(det) # 输出: -2.02.5 矩阵的迹
矩阵的迹是主对角线元素之和，可用 np.trace() 计算。
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
trace = np.trace(A)
print(trace) # 输出: 5 (1 + 4)3. 线性方程组求解
求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是系数矩阵，x 是未知向量，b 是常数向量。使用 la.solve() 求解。
示例：
求解以下方程组：
2x + y = 5
x + 3y = 10代码：
A = np.array([[2, 1], [1, 3]])
b = np.array([5, 10])
x = la.solve(A, b)
print(x) # 输出: [1. 3.] （即 x = 1, y = 3）注意：
la.solve()适用于方阵（A必须是 n×n 矩阵）。- 如果
A不可逆（奇异矩阵），会抛出LinAlgError。
4. 特征值与特征向量
使用 la.eig() 计算方阵的特征值和特征向量。
示例：
A = np.array([[1, 2], [2, 1]])
eigenvalues, eigenvectors = la.eig(A)
print("特征值:", eigenvalues)
print("特征向量:\n", eigenvectors)
# 输出:
# 特征值: [ 3. -1.]
# 特征向量:
# [[ 0.70710678 -0.70710678]
# [ 0.70710678 0.70710678]]解释：
eigenvalues是一个一维数组，包含矩阵的特征值。eigenvectors是一个矩阵，每列是对应特征值的特征向量。
5. 矩阵分解
numpy.linalg 支持多种矩阵分解方法，常用的包括：
5.1 奇异值分解 (SVD)
SVD 将矩阵 A 分解为 U @ np.diag(s) @ Vh，其中 U 和 Vh 是正交矩阵，s 是奇异值向量。
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
U, s, Vh = la.svd(A)
print("U:\n", U)
print("奇异值:", s)
print("Vh:\n", Vh)
# 输出示例：
# U:
# [[-0.40455358 -0.9145143 ]
# [-0.9145143 0.40455358]]
# 奇异值: [5.4649857 0.36596619]
# Vh:
# [[-0.57604844 -0.81741556]
# [-0.81741556 0.57604844]]5.2 QR 分解
QR 分解将矩阵分解为正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R。
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
Q, R = la.qr(A)
print("Q:\n", Q)
print("R:\n", R)
# 输出示例：
# Q:
# [[-0.31622777 -0.9486833 ]
# [-0.9486833 0.31622777]]
# R:
# [[-3.16227766 -4.42718872]
# [ 0. -0.63245553]]6. 范数与距离
6.1 矩阵或向量的范数
使用 la.norm() 计算范数（默认是 L2 范数）。
v = np.array([3, 4])
norm = la.norm(v)
print(norm) # 输出: 5.0 (sqrt(3^2 + 4^2))
# 矩阵范数
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
norm_A = la.norm(A) # 默认 Frobenius 范数
print(norm_A) # 输出: 5.4772255750516616.2 其他范数
支持的范数类型包括：
ord='fro'：Frobenius 范数（矩阵默认）。ord=2：L2 范数（向量默认）。ord=1：L1 范数。ord=np.inf：无穷范数。
7. 其他实用功能
7.1 矩阵的条件数
条件数衡量矩阵的数值稳定性，使用 la.cond() 计算。
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
cond = la.cond(A)
print(cond) # 输出: 14.9330343736592687.2 矩阵的秩
使用 la.matrix_rank() 计算矩阵的秩。
A = np.array([[1, 2], [2, 4]])
rank = la.matrix_rank(A)
print(rank) # 输出: 1 （因为矩阵是奇异的）7.3 伪逆
对于非方阵或奇异矩阵，可用 la.pinv() 计算伪逆。
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
A_pinv = la.pinv(A)
print(A_pinv)
# 输出:
# [[-2. 1. ]
# [ 1.5 -0.5]]8. 注意事项
- 矩阵 vs 数组：
- NumPy 推荐使用
ndarray而不是numpy.matrix，因为ndarray更通用，matrix类的特殊行为（如*表示矩阵乘法）可能导致混淆。 - 使用
@运算符和np.dot()可以完全替代matrix类的矩阵乘法。
- 数值稳定性：
- 对于接近奇异的矩阵（如行列式接近 0），
la.inv()或la.solve()可能因数值误差导致不准确。 - 使用 SVD 或伪逆可以处理这类情况。
- 性能：
- 大矩阵运算可能需要优化，考虑使用稀疏矩阵（
scipy.sparse）或并行计算。
- 输入要求：
- 许多
linalg函数要求输入是二维数组（矩阵）或一维数组（向量），需确保形状正确。
9. 示例：综合应用
假设要分析一个线性系统，计算其特征值、解方程组并验证结果：
# 定义矩阵和向量
A = np.array([[4, -1], [2, 1]])
b = np.array([1, 2])
# 求解线性方程组 Ax = b
x = la.solve(A, b)
print("解 x:", x) # 输出: [0.5 1. ]
# 计算特征值和特征向量
eigvals, eigvecs = la.eig(A)
print("特征值:", eigvals)
print("特征向量:\n", eigvecs)
# 验证解
print("验证 Ax:", A @ x) # 输出: [1. 2.] （与 b 一致）10. 总结
numpy.linalg提供了全面的线性代数工具，涵盖矩阵运算、方程求解、特征值分析和矩阵分解。- 核心函数包括
la.inv()、la.solve()、la.eig()、la.svd()等。 - 推荐使用
ndarray而非numpy.matrix，因为前者更灵活且是 NumPy 的核心数据结构。 - 注意数值稳定性、输入格式和性能优化，确保代码高效且正确。
如果有具体线性代数问题或需要更详细的示例，请告诉我！